关键词：交流电机 位置控制器 状态前馈 负载转矩观测 Kalman滤波器
ZHENG Zedong, LI Yongdong
Abstract: In the AC servo control system, high performance position control is desired, so special position controller design is needed. A novel position controller based on state feedback and feedforward is proposed in this paper, the traditional position and speed controllers are combined as a signal one. The state equation of the position controller is built, and the parameters of the controller can be obtained by the selection of zero and pole points and the analysis of transfer function. With the measured rotor position by the mechanical sensor with limited resolution, the precious load torque, rotor position and speed can be observed by a state observer based on Kalman filter. The observed load torque can be used as feedforward compensation to improve the control performance during load changes. A permanent magnet synchronous motor （PMSM） is adopted to do the simulation and experimental verification. The results show that in the system with the novel controller, the position control result is more rapid and precise, the overshoot is smaller compared with the traditional PID controller. The system can also have good stability and precision during load torque changes.
Keywords: AC motor, position controller, state feedforward, load torque observation, Kalman filter
1.概 述
交流电机伺服系统在数控机床、机器人、航空航天、军工等领域得到了广泛的应用，伺服系统一般需要对电机转子位置进行精确控制，并且对位置控制的跟踪速度、超调量和抗扰动能力有很高的要求。传统的比例积分微分（PID）控制器不能很好地兼顾动态响应和抗干扰能力的要求，而且其在设计时一般都没有考虑负载转矩的影响。其中的积分环节容易产生超调，微分环节容易引入噪声，使系统振荡或失去稳定。为了减小位置控制的超调，需要引入前馈补偿环节，但是其系数难以准确确定。因此，位置控制器的研究和设计是一个非常重要的环节[1-4]。目前的位置控制系统多是在转速控制环节的外面再增加一个位置控制环节，系统比较复杂，因此如何简化系统，提高控制性能是一个研究方向。
本文提出一种基于状态前馈和状态反馈的位置控制系统，把位置控制器和转速控制器合并为一个控制器，综合考虑电机位置参考值、转子转速、转子位置、负载转矩等各方面因素，直接计算得到电机电磁转矩的给定值。通过引入负载转矩前馈使控制器对负载转矩变化有很好的抑制能力;通过引入位置给定值的前馈补偿，转速控制中的超调量大大减小，位置控制性能得到提高。通过建立完整的控制器的状态方程，以不同的控制目标得到了控制器的各个参数的计算公式。系统中还采用基于Kalman滤波器的状态观测器，根据低精度的位置传感器观测准确的转子位置，转速和负载转矩，代替了传统的微分计算转速的方法。利用观测的负载转矩形成前馈补偿提高了系统在负载变化时的稳定性。该系统结构简单，易于实现，降低了伺服系统的成本，提高了位置控制性能，是一种非常好的交流电机伺服控制方案。最后以永磁同步电机为例进行了仿真和实验验证。
2.控制器模型
传统的位置-转速分别闭环的控制系统如图1所示，其中引入了位置指令值的前馈补偿来减小位置控制的超调量，所以也叫做二自由度控制器。
图1 采用二自由度位置控制器的系统框图
由于位置和转速闭环控制器的控制对象都是机械运动量，时间常数相同，如果我们把位置和转速调节器看作一个整体，那么其给定量是位置指令，反馈输入为电机转速和位置，并增加前馈补偿环节，其输出为电机电磁转矩的指令值。控制器结构如图1所示。
图2 基于状态反馈和前馈的新型位置控制器框图
这里执行机构包括电流调节器、逆变器和电机等。控制器的输出为电机的电磁转矩给定值。控制器中把传统的位置和速度控制环节合并在一起，综合考虑转速和位置的控制，并且引入位置指令和负载转矩的前馈补偿，通过合理的极点设置来实现位置的高性能控制[5]。
在这个控制器中，积分项用来消除位置控制的稳态误差，积分项的输出为状态变量Xr。转子转速和位置分别通过增益Ks1和Ks2来形成反馈。转子位置的给定值和负载转矩的观测值分别通过系数Kθ和Kv形成前馈补偿。
位置控制器的输出为电磁转矩的指令值，根据所采用的电机不同和控制目标的不同，可以根据当前的电机转速和电磁转矩给定值计算得到dq轴电流的给定值。对于隐极永磁同步电机，一般选取：
这样可以保证用最小的电流获取最大的电磁转矩。
对于其他交流电机，根据电磁转矩公式的不同可以由不同的电流控制方案。如凸极永磁同步电机，由于存在磁阻转矩部分，如式（1）所示，d轴电流也可以产生转矩，所以根据不同的优化目标，如电流幅值、效率、功率因数、电压利用率等，可以确定不同的dq轴电流控制方案。
（1）
在图1所示的控制器中，积分项的输出为：
（2）
整个控制器的输出可以写成：
（3）
电机转子运动方程为：
（4）
方程离散化可以写成：
（5）
其中：
（6）
（7）
其中：
为机械环节控制周期。
假设电流环等跟踪速度足够快，则电磁转矩也能完全跟踪转矩给定值：
（8）
以转速、转子位置和积分项的输出 为状态变量建立状态方程，并把式（3）带入式（5）可以得到：
（9）
系统的动态矩阵为：
（10）
从矩阵中可以看出，控制器的所有参数中，反馈系数Ks1，Ks2和Kr决定了系统闭环极点的位置，即方程
的根。由于控制器是一个3阶系统，所以可以有3个极点，极点的位置的不同组合决定了控制器具有不同的响应性能。为了简单起见，我们假设系统有三重极点
，可以得到反馈系数 ， 和 的值如下：
（11a）
（11b）
（11c）
在z平面上，极点的位置要选择在0到1之间才能保证系统稳定（相当于s平面的左半平面）。其中，极点离0越近，系统响应速度越快，但是对系统噪声也会比较敏感，离1越近，系统稳态的稳定性越好，但是响应速度会变慢。所以极点的选择要平衡响应速度和稳定性的关系。
假设在转矩观测器收敛后观测转矩等于实际的负载转矩，方程（9）变成：
（12）
为了消除负载转矩的影响，可以让最后一项等于零，即选择Kv为
Kv=1（13）
假设负载转矩的影响通过上述的前馈补偿得到完全消除，式（12）继续简化为：
（14）
那么可以得到从位置给定值到电机转子位置之间的传递函数为：
（15）
这个传递函数就反映了在按照式（11）选定控制器极点，并且负载转矩得到完全补偿时的位置控制响应特性。从上式可以看出，Kθ可以在传递函数的分子上产生一个零点，我们可以让这个零点和系统的一个极点互相抵消，降低系统的阶数并提高控制器的动态性能。
为了抵消一个极点Pbf，应该有：
（16）
采用如上的控制器参数时，我们需要分析电机转子位置对转子位置指令的动态跟踪特性。为了简单起见，我们假设转子位置指令是一个斜坡函数。假设在达到平衡时，转子实际位置与位置指令值之间保持一个固定的误差，电机转子转速也应该为一个恒定值以保证实际转子位置以同样的斜坡斜率跟踪位置指令。如果负载转矩保持不变，则电机运动状态可以描述为：
（17）
定义转子位置跟踪误差和积分项的变化值为：
（18）
假设转子位置指令斜坡函数的斜率表示为：
（19）
其中， k为比例系数。
则可以推导出转子位置的跟踪误差应该满足如下关系：
（20）
从式（20）可以看出，当转子位置指令按照一定速率增加时，转子位置并不能完全跟踪位置指令，而是跟指令值保持一定的静差。并且误差跟位置给定值变化的斜率和机械控制周期有关。但是当转子位置指令值保持一个值不变时（k=0），转子位置最终会跟指令值相等。
如果需要消除这种动态过程中的跟踪误差，可以选择：
（21）
当采用式（21）确定系数Kθ时，我们可以看出，控制器中的转子位置前馈环节和实际位置反馈环节可以合并，跟积分环节组成一个普通的比例积分PI调节器，积分系数为Kr，比例系数为Kθ，这样控制器实际上就退化为传统的比例积分控制器。
控制器中包含的积分环节有助于消除控制的稳态误差，但是在当位置指令大范围快速变化时，积分项会出现过饱和（Windup）现象，从而产生了控制量的超调现象。文献[6,7]等提出了多种Anti-Windup控制器结构，这里我们采用最常用的一种。Windup 现象的原因就是由于限幅使控制器的输出与被控对象的输入不等，若将二者之差作为反馈信号构成反馈支路来加以消除，就达到了抑制Windup现象的目的。如图3所示。
3. 基于Kalman滤波器的状态观测器
控制器中需要负载转矩信息，我们可以观测起的方法来实时观测负载转矩[8,9]。
以电机转子转速、转子位置和负载转矩作为状态变量建立状态方程，假设负载转矩变换缓慢，其导数近似为零，观测器的状态方程如下:
（22）
写成矩阵方程的形式：
其中：
近似用一阶欧拉方程展开上式为离散迭代形式，近似过程中的误差可以用Kalman滤波器的反馈校正来补偿。
（25）
记：
（26a）
（26b）
即离散方程可以写成：
（27）
考虑系统误差和测量噪声的影响，在离散域中，系统状态方程为：
（28a）
（28b）
式中w为输入噪声（系统噪声），v为输出噪声（测量噪声）。一般来说，w代表系统参数误差所带来的影响，而v代表测量过程中的噪声和干扰，包括机械传感器测量的位置信号的量化误差。噪声一般为平稳的高斯白噪声，平均值为零。
Kalman滤波器的迭代算法如下：
（1） 计算状态变量的先验估计值和协方差矩阵的先验估计值
（2）计算Kalman增益
（29c）
（3）根据测量量更新状态估计，计算状态变量的最优估计值
（29d）
（4）更新协方差矩阵
（29e）
用基于Kalman滤波器的负载转矩观测器观测的转速和转子位置代替直接测量值，可以得到采用新型位置控制器的系统框图如图2所示。
图3 位置控制系统框图
4. 仿真结果
为了验证该控制器的性能，我们在Matlab的simulink平台上进行了实验验证，设置机械量闭环控制周期为10倍于内环（电流环）的控制周期，即Tm=10Ts=ms。电机转子位置由分辨率为每圈256点的一个旋转变压器测量得到，然后用基于Kalman滤波器的负载转矩观测器观测电机转子位置、转速和负载转矩，并作为位置控制器的输入。根据电机参数，选择控制器的截止频率为
rad/s;可以计算得到控制器的各个参数为：
位置控制结果如图4所示。
图4 位置控制结果
对应的转子位置跟踪误差如图5所示。根据式（20）可以得到θε=2.016rad。可以看出，位置控制的误差跟式（20）的计算结果一致。
图5 位置跟踪误差
如果参数Kθ选择由式（21）确定，控制器退化为普通的带负载转矩前馈和转速反馈的比例积分控制器，则位置控制的仿真结果如图6所示。
图6 位置控制结果
可以看出，当采用式（21）确定参数Kθ之后，虽然动态过程中的位置跟踪误差变小，但是位置控制的超调量变大。
5. 实验结果
为了验证理论推导和仿真分析的有效性，以表面贴式永磁同步电机为控制对象，用磁粉制动器作为负载。电机转子上安装旋转变压器测量绝对位置，分辨率为256 P/R。用扩展Kalman滤波器根据测量的转子位置来观测负载转矩和转子转速，并用转子位置的观测值代替直接测量值。电机控制采用矢量控制方式，d轴电流控制为零。
在恒定转速控制下，突加负载转据，则Kalman滤波器对于负载转据的观测结果如图7所示。可以看出，观测转速能够很好地跟踪实际转速。
图7 负载转矩观测结果
设置机械环控制周期为10倍于系统的采样周期，即
ms。根据电机参数，选择控制器的截至频率为
rad/s;可以计算得到控制器的各个参数为：
首先设置转子位置的给定值为斜坡函数，位置控制效果如图8所示，对应的电机转子转速如图9所示。其中在40秒时突加负载转矩。可以看出，电机的转子位置能够很好地跟踪位置指令值，并且位置控制基本上没有超调量，非常适合于位置控制系统。在突加负载转矩过程中，转子位置控制和转子转速都能很好地保持稳定。负载转矩的前馈补偿很好地消除了负载变化的影响。
负载转矩观测器对于负载转矩的观测结果如图10所示。负载转矩由磁粉制动器提供，属于制动性负载，所以负载转矩的方向始终和转速方向相反，在转速为零时，负载转矩方向由电机旋转的趋势决定，并且大小等于电磁转矩。同时，由于受电机转动惯量和摩擦转矩系数等参数精度的影响，在空载的时候观测转矩不为零。在动态过程中，观测转矩也会出现一定的误差。
位置指令值为阶跃信号时的位置控制结果如图11所示。可以看出，由于受电机控制系统的供电电压、电流以及容量等限制，位置指令为阶跃信号时，转子位置并不能很快跟踪指令值，而是以所能达到的最高转速旋转直到达到指令值。同时由于在控制器中采用了Anti-Windup环节来防止积分环节的过饱和现象，在转子位置接近指令值的时候，电机转速逐渐减小，从而保证位置能够很平滑地稳定在给定值上，实现了非常优异的位置控制性能。
图8 位置控制结果
图9 对应的转子机械角速度
图10 负载转矩观测结果
图11 位置指令为阶跃信号时的位置控制结果
6. 结论
本文给出了一种新型的基于状态反馈和前馈的位置控制器，把传统的位置控制器和转速控制器合并为一个控制器，直接输出电机电磁转矩的指令值，简化了系统结构，并且可以更好地协调位置和转速这两个机械量之间的关系，提高控制性能。在对控制器传递函数分析的基础上，通过理论推导给出了控制器中各个参数的计算方法，便于控制器的实用化。用基于Kalman滤波器的观测器根据转子位置的测量值实现了对转子位置、转速和负载转矩的观测。控制器中引入了观测转矩的前馈补偿，使负载变化过程中的位置控制性能大大提高;引入了位置指令值的前馈补偿，通过对控制器极点和前馈量增益的设置，可以实现非常好的位置跟踪性能，使位置控制的超调现象大大减小。通过引入Anti-Windup环节，解决了位置指令突变过程中的积分过饱和现象，进一步减小了位置控制中的超调现象。用永磁同步电机进行了仿真和实验验证，证明该控制器是一种非常好的位置控制系统的实现方案。
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