关键词： 永磁同步电机；直接反馈线性化；李微分；线性控制
Abstract：Permanent magnet synchronous motor（PMSM） is a nonlinear system with significant coupling. This paper applies the direct feedback linearization （DFL） theory. The appropriate coordinate transformation and nonlinear state feedback are obtained through Lie deriving the output variable, with which the PMSM system is input-output linearized. Furthermore, which realizes the completely dynamic decoupling. The simulation results show that the method proposed in this paper has better speed tracking performances comparison with normal PID control, and proves the efficiency and feasibility of designed system.
Keyword： PMSM; direct feedback linearization（DFL）; Lie derivatives; decoupling control
1、引言
随着永磁磁性材料、半导体功率器件和控制理论的发展，永磁同步电动机（PMSM）在当前的中、小功率运动控制中起着越来越重要的作用。它具有如下的优点：结构紧凑、高功率密度、高气隙磁通和高转矩惯性比等。因此，在伺服系统中越来越被广泛应用。另外，永磁同步电动机是一个非线性系统，它含有角速度ω与电流id或iq的乘积项，因此要得到精确控制性能必须对角速度和电流进行解耦。
近十几年来，基于反馈线性化思想的非线性控制理论获得很大进展[1]，通过坐标变换与状态反馈，可以把非线性系统化为线性系统。文献[2,3]采用逆系统理论研究了这一问题，但目前还仅限于电流源型逆变器供电的电机；文献[4,5]应用微分几何理论对感应电机的控制问题作了初步研究，所用理论比较复杂，物理概念不够清楚；文献[6]采用直接反馈线性化理论对感应电机控制进行了初步的研究。文献[7]应用反馈线性化理论对直线永磁同步电机进行了速度跟踪控制。直接反馈线性化（DFL）是基于系统输入-输出描述的一种反馈线性化方法，已成功解决了多种非线性控制问题[8～9]。直接反馈线性化的优点是所用数学工具简单，物理概念清晰，便于掌握。
本文应用直接反馈线性化原理，从系统的输出方程出发，进行了坐标变换和状态反馈，使永磁同步电机的电流和角速度解耦，从而实现了电机控制系统的线性化，利用线性控制理论对永磁同步电机速度跟踪控制进行了仿真。结果表明：直接反馈线性化控制能够实现速度跟踪控制，同时系统在突加负载和卸除负载时降低了对速度的影响。
2、直接反馈线性化原理
本节先以单输入单输出（SISO）系统为例简单介绍直接反馈线性化的原理，从系统的输出方程出发得到所需的坐标变换与状态反馈律，实现了系统的线性化。多输入多输出系统则在下一节结合永磁同步电动机来介绍。
现有如下的n阶非线性系统：
其中f（x）,g（x）是矢量函数，系统（1）的相对阶（relative degree）是p，它反映了系统输出与输入之间积分器的数目。由相对阶的李微分定义：
现对输出量y求导：
下面分两种情况讨论实现直接反馈线性化的具体方法。
（1）p=n
此时可以选择如下的坐标变换T（x）：
则原非线性系统转换为：
对于其中的最后一式，再引入一假定输入量v，令：
这样，系统（8）就可以转换成线性系统，也就是说可以按线性系统理论来设计其输入v（t），然后再由式（9）解得原非线性系统的反馈线性化控制为：
（2）p<n
此时仍然可以按照式（7）选择坐标变换，得到r个新的状态量。对于其它n-r个状态，坐标变换的选择原则是要使新的状态方程中不出现输入量，即通过如下坐标变换：
这样，非线性系统变为：
上式的第二部分，形式上与式（8）类似，可按与相面相同的方法通过对输入引入状态反馈，然后按线性系统理论设计假定控制量 即可；但对于式（12）的第一部分出现了零动态系统，只有保证零动态方程的稳定性，反馈线性化方法才有效的。
3、永磁同步电动机的反馈线性化
3.1 数学模型
采用表面式的永磁同步电动机，其基于同步旋转转子坐标的d-q模型[10]如下：
其中，ud,uq是d，q轴定子电压； 是d，q轴定子电流；R是定子电阻；L是定子电感；TL是负载转矩；J是转动惯量；B是粘滞磨擦系统；P是极对数；ω是转子机械角速度；Φf是永磁磁通。
式（13）、（14）、（15）可以简化写成：
3.2 坐标变换
为了实现系统的解耦，避免出现零动态系统问题[11]，选择ω，id为系统的输出，定义新的输出变量为：
对式（17）进行求导：
由于系统是三输入三输出系统，且它的相对阶是｛1,1,1｝，即它的之和等于系统的阶数，所以系统可反馈线性化，且不出现零动态问题。令假定控制量为：
则线性化系统为：
这样，可以按照线性系统极点配置理论来设计状态反馈控制为：
把式（13）、（14）、（15）代入（19）、（20），得到了实际控制量uq,ud
4、系统实例仿真
永磁同步电机系统的直接反馈线性化控制框图，如图1所示。通过调整参数k1,k2,k3使系统达到满意的配置点。永磁同步电机参数如表1所示。
直接反馈线性化控制参数为：
（1） 假定速度的参考速度为500r/s，DFL控制的仿真结果如图2（a）所示，一般PID控制的仿真如图3（a）所示。由仿真结果表明，系统的DFL控制比一般PID控制更具有很好速度跟踪能力。
（2） 假定速度的参考速度为500r/s，在0.4秒加速50r/s，在0.8秒减速50r/s。仿真结果分别如图2（b）,图3（b）。它表明DFL控制使系统具有良好的动态性能。
（3） 假定速度的参考速度为100r/s，在0.25秒突加负载10Nm，在0.5秒卸除负载。仿真结果分别如图2（c）,图3（c）。它表明DFL控制系统在突加负载和卸除负载时降低了对速度的影响。
从上面仿真可以看出：与一般PID控制相比，系统DFL控制在减少调节参数的情况下加快了系统的跟踪速度，同时具有很强的鲁棒性。
5、结论
本文把直接反馈线性化控制应用于永磁同步电动机的速度跟踪中，该设计方法与一般PID控制方法相比，减少了调节参数，简化了系统的控制设计。通过Matlab仿真和一般PID控制对比，表明系统有很好的跟踪性能，验证了系统设计的有效性和可行性。
参考文献
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作者简介：
刘栋良（1977-），男，博士研究生，从事非线性控制和电机伺服系统的应用研究
